Question

（本題滿分14分）如圖，橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)為，，.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線過，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程．

（3）設(shè)為過原點(diǎn)的直線，是與垂直相交于點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)的直線，，是否存在上述直線使以為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）不存在以為直徑的圓過原點(diǎn)的直線.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中條件容易得出，，結(jié)合，可確定的值，進(jìn)而寫出橢圓的方程即可；（2）分直線的斜存在與不存在兩種情況進(jìn)行求解，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)差法，結(jié)合是的中點(diǎn)，即可求直線的方程，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)即可；（3）先設(shè)，假設(shè)所求直線存在，則必有，進(jìn)而得到，然后分直線的斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行求解判斷直線的存在與否即可.

試題解析：（1）依題意有， 1分

又由，有， 2分

解得， 3分，故橢圓C的方程為 4分

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，

則，，兩式相減得：

∵是的中點(diǎn)，∴ 可得直線的斜率為

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，將代入橢圓方程并解得，

這時(shí)的中點(diǎn)為，∴不符合題設(shè)要求 8分

綜上，直線的方程為 9分

（3）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，假設(shè)滿足題設(shè)的直線存在

（i）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為，由與垂直相交于點(diǎn)且得，即， 10分

又∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴， ∴

將代入橢圓方程，得

由求根公式可得 ④

⑤

將④，⑤代入上式并化簡(jiǎn)得

，⑥

將代入⑥并化簡(jiǎn)得，矛盾

即此時(shí)直線不存在. 12分

（ii）當(dāng)垂直于軸時(shí)，滿足的直線的方程為或

當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)分別為

，

當(dāng)時(shí)，同理可得

即此時(shí)直線也不存在 13分

綜上可知，使以為直徑的圓過原點(diǎn)的直線不存在 14分.

考點(diǎn)：1.直線與圓錐曲線的綜合問題；2.直線的方程；3.分類討論的思想.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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