Question

函數(shù)f（x）=

1

2

（a^x+a^-x）（a＞0，且a≠1）的圖象經(jīng)過點（2，

41

9

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）應(yīng)用代入法，求出a，從而得出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）運用函數(shù)單調(diào)性定義證明：分設(shè)值、作差、變形、定符號、下結(jié)論幾步．

解答： 解：（1）∵f（x）圖象過點（2，

41

9

），
∴f（2）=

41

9

，即

1

2

(a2+a-2)=

41

9

，
∴a²=9或a²=

1

9

，
∵a＞0且a≠1，
∴a=3或a=

1

3

，
∴f（x）的解析式為：f（x）=

1

2

(3x+3-x)；
   （2）證明：設(shè)0≤x₁＜x₂，則
   f（x₁）-f（x₂）=

1

2

(3x1+3-x1)-

1

2

(3x2+3-x2)
=

1

2

[(3x1-3x2)+

3x2-3x1

3x1•3x2

]
=

1

2

(3x1-3x2)•

3x1+x2-1

3x1+x2

，
∵x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2即3x1-3x2＜0，
∵0≤x₁＜x₂，
∴3x1+x2＞1，即3x1+x2-1＞0，3x1+x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，解題時必須嚴(yán)格按照五個步驟加以證明，特別注意三、四兩個步驟．本題是一道基礎(chǔ)題．