Question

如圖，己知|

OA

|=2，|

OB

|=1，∠AOB為銳角，OM平分∠AOB，點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，

OP

=x

OA

+y

OB

，若點(diǎn)P在陰影部分（含邊界）內(nèi)，則在下列給出的關(guān)于x、y的式子中，滿足題設(shè)條件的為

 

（寫出所有正確式子的序號(hào)）．
①x≥0，y≥0；②x-y≥0；③x-y≤0；④x-2y≥0；⑤2x-y≥0．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用向量共線定理，及三角形法則，將向量

OP

用

OA

，

OB

表示出來，則

OA

，

OB

的系數(shù)對(duì)應(yīng)等于x，y．由此即可解題．

解答： 解：設(shè)線段OP與AB的交點(diǎn)為C，
則由向量共線定理知：存在實(shí)數(shù)λ，使得

OP

=λ

OC

 其中λ＞0，
∴

OP

=λ

OC

=λ（

OA

+

AC

）
=λ

OA

+λ

AC

．
∵

AC

，

AB

共線，
∴存在實(shí)數(shù)μ，使得

AC

=μ

AB

，
∵N為BC的中點(diǎn)，
∴μ＞

1

2

；
又∵|

OA

|=2，|

OB

|=1，OM平分∠AOB，
∴由正弦定理知，AM=2BM，
∴AC≤AM=

2

3

AB，
故

1

2

≤μ≤

2

3

，
∴

OP

=λ

OA

+λμ

AB

=λ

OA

+λμ(

OB

-

OA

)
=λ（1-μ）

OA

+λμ

OB

，
∴x=λ（1-μ），y=λμ
又∵λ＞0，

1

2

≤μ≤

2

3

，
∴x≥0，y≥0；
x-y=λ（1-2μ）≤0；
2x-y=λ（2-3μ）≥0．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面向量的共線定理以及向量的三角形法則，并涉及到了正弦定理，難度較大，屬于難題．