Question

（本小題滿分13分）
設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

（I）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（II）函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為.

試題分析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053820388535.png" style="vertical-align:middle;" />，

由可得，
得到的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（II）分，，，時(shí)，
討論導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，明確極值點(diǎn)的有無、多少.
試題解析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053820388535.png" style="vertical-align:middle;" />，



由可得，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（II）由（I）知，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
故在內(nèi)不存在極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053821028841.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)且僅當(dāng)，
解得，
綜上所述，函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為.