【題目】平面內(nèi)有12個點,其中任意三點不共線,每兩點連一條線段(或邊)。這些線段用紅、藍(lán)兩色染色,每條線段恰染一色,其中,從某點出發(fā)的紅色線段有奇數(shù)條,而從其余11個點出發(fā)的紅色線段數(shù)互不相同。求以已知點為頂點、各邊均為紅色的三角形個數(shù)及兩邊為紅色、另一邊為藍(lán)色的三角形個數(shù)。
【答案】40,55
【解析】
解法1 注意到從每點引出的紅色線段只可能為0,1,…,11中的一種取值,而0、11不可能同時出現(xiàn),從而,有兩類可能情形:
(1)0,1,…,10;
(2)1,2,…,11.
若為情形(2),當(dāng)點引出條紅色線段時,不是整數(shù).從而,只可能為情形(1).
于是,除點外,另外11個點分別連出0,1,…,10條紅色線段.
此時,不妨設(shè)點連出條紅色線段(簡稱紅邊),連出條紅邊.則點與除了點外的其余10個點均連了紅邊;點與除了點外的其余9個點均連了紅邊.
依此類推,點與除點外的8個點連了紅邊;點與除點外的7個點連了紅邊;點與除點外的6個點連了紅邊.從而,點均為點連有紅邊.
由于點只連了5條紅邊(與已連了紅邊),則點不與點連紅邊.
同理,點均不與點連紅邊.
故點處連了5條紅邊.
令,.
則中任意兩點無紅邊相連,而中任意兩點均有紅邊相連,且中任一點恰與中個點連有紅邊.因此,以為頂點且三邊均為紅邊的三角形不存在,以為頂點且三邊均為紅邊的三角形有個,以中任意三點為頂點且三邊均為紅邊的三角形有個.故三邊均為紅邊的三角形個數(shù)為
.
兩邊為紅邊、另一邊為藍(lán)邊的三角形分為兩類:
(ⅰ)三角形的一個頂點,另兩個頂點屬于,且從中一點向中兩點引出的兩邊是一紅、一藍(lán)(中兩點連線皆為紅邊).
這類三角形的個數(shù)為.
(ⅱ)三角形的一個頂點為(為或),另兩個頂點屬于,且從點向中兩點所引的均為紅邊(中兩點連線均為藍(lán)邊).
這類三角形的個數(shù)為.
故兩邊為紅色、另一邊為藍(lán)色的三角形有35+20=55個.
因此,所求個數(shù)分別為40、55.
解法2 同解法1知三邊均為紅色的三角形的個數(shù)為40.
對任何,以為一個頂點且與相連的兩邊均為紅邊的三角形的個數(shù)為,以為一個頂點且與相連的兩邊皆為紅邊的三角形的個數(shù)為,將所有這些三角形的個數(shù)加起來得.
在以上的和中,每一個具有兩條紅邊、一條藍(lán)邊的三角形只被計算一次,每個三邊均為紅邊的三角形均被計算三次,
從而,兩邊為紅色、一邊為藍(lán)色的三角形個數(shù)為175-3×40=55,故所求個數(shù)分別為40、55.
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A.相關(guān)關(guān)系是一種確定性關(guān)系,一般可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)
B.回歸直線一定過樣本點的中心
C.在回歸分析中,為的模型比為的模型擬合的效果好
D.某同學(xué)研究賣出的熱飲杯數(shù)與氣溫(℃)時,一定可賣出杯熱飲
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A.若,則
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D.命題:,,,則:,,
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A. B. C. D.
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