Question

【題目】平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，每兩點(diǎn)連一條線段（或邊）。這些線段用紅、藍(lán)兩色染色，每條線段恰染一色，其中，從某點(diǎn)出發(fā)的紅色線段有奇數(shù)條，而從其余11個(gè)點(diǎn)出發(fā)的紅色線段數(shù)互不相同。求以已知點(diǎn)為頂點(diǎn)、各邊均為紅色的三角形個(gè)數(shù)及兩邊為紅色、另一邊為藍(lán)色的三角形個(gè)數(shù)。

Answer 1

【答案】40，55

【解析】

解法1 注意到從每點(diǎn)引出的紅色線段只可能為0,1，…，11中的一種取值，而0、11不可能同時(shí)出現(xiàn)，從而，有兩類可能情形：

（1）0,1，…，10；

（2）1,2，…，11.

若為情形（2），當(dāng)點(diǎn)引出條紅色線段時(shí)，不是整數(shù).從而，只可能為情形（1）.

于是，除點(diǎn)外，另外11個(gè)點(diǎn)分別連出0,1，…，10條紅色線段.

此時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)連出條紅色線段（簡稱紅邊），連出條紅邊.則點(diǎn)與除了點(diǎn)外的其余10個(gè)點(diǎn)均連了紅邊；點(diǎn)與除了點(diǎn)外的其余9個(gè)點(diǎn)均連了紅邊.

依此類推，點(diǎn)與除點(diǎn)外的8個(gè)點(diǎn)連了紅邊；點(diǎn)與除點(diǎn)外的7個(gè)點(diǎn)連了紅邊；點(diǎn)與除點(diǎn)外的6個(gè)點(diǎn)連了紅邊.從而，點(diǎn)均為點(diǎn)連有紅邊.

由于點(diǎn)只連了5條紅邊（與已連了紅邊），則點(diǎn)不與點(diǎn)連紅邊.

同理，點(diǎn)均不與點(diǎn)連紅邊.

故點(diǎn)處連了5條紅邊.

令，.

則中任意兩點(diǎn)無紅邊相連，而中任意兩點(diǎn)均有紅邊相連，且中任一點(diǎn)恰與中個(gè)點(diǎn)連有紅邊.因此，以為頂點(diǎn)且三邊均為紅邊的三角形不存在，以為頂點(diǎn)且三邊均為紅邊的三角形有個(gè)，以中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)且三邊均為紅邊的三角形有個(gè).故三邊均為紅邊的三角形個(gè)數(shù)為

.

兩邊為紅邊、另一邊為藍(lán)邊的三角形分為兩類：

（ⅰ）三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)屬于，且從中一點(diǎn)向中兩點(diǎn)引出的兩邊是一紅、一藍(lán)（中兩點(diǎn)連線皆為紅邊）.

這類三角形的個(gè)數(shù)為.

（ⅱ）三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為（為或），另兩個(gè)頂點(diǎn)屬于，且從點(diǎn)向中兩點(diǎn)所引的均為紅邊（中兩點(diǎn)連線均為藍(lán)邊）.

這類三角形的個(gè)數(shù)為.

故兩邊為紅色、另一邊為藍(lán)色的三角形有35+20=55個(gè).

因此，所求個(gè)數(shù)分別為40、55.

解法2 同解法1知三邊均為紅色的三角形的個(gè)數(shù)為40.

對(duì)任何，以為一個(gè)頂點(diǎn)且與相連的兩邊均為紅邊的三角形的個(gè)數(shù)為，以為一個(gè)頂點(diǎn)且與相連的兩邊皆為紅邊的三角形的個(gè)數(shù)為，將所有這些三角形的個(gè)數(shù)加起來得.

在以上的和中，每一個(gè)具有兩條紅邊、一條藍(lán)邊的三角形只被計(jì)算一次，每個(gè)三邊均為紅邊的三角形均被計(jì)算三次，

從而，兩邊為紅色、一邊為藍(lán)色的三角形個(gè)數(shù)為175-3×40=55，故所求個(gè)數(shù)分別為40、55.