Question

已知四棱錐P-ABCD底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分別是線段AB，BC的中點，
（Ⅰ）在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD；．
（Ⅱ）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求三棱錐D-EFG的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD且AH=

1

4

AD，通過證明平面EGH∥平面PFD，然后證明EG∥平面PFD；
（Ⅱ）∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，轉換底面，即可求三棱錐D-EFG的體積．

解答： 解：（Ⅰ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD且AH=

1

4

AD．
再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
所以平面EHG∥平面PFD，所以EG∥平面PFD．
從而滿足AG=

1

4

AP的點G為所求．------------（6分）
（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB與平面ABCD所成的角．
因為∠PBA=45°，所以PA=AB=1
V_D-EFG=V_G-DEF=

1

3

S_△DEF•|AG|=

1

3

•|AG|[S矩形ABCD-S_△ADE-S_△BEF-S_△CDF]=

1

16

------------（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查體積的計算，考查邏輯推理能力，空間想象能力．