Question

【題目】【2017揚(yáng)州一模20】已知函數(shù)，其中函數(shù)，．

（1）求函數(shù)在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)于給定的正整數(shù)，問函數(shù)是否有零點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：(1)，故，

所以切線方程為，即

（2），故，

令，得或.

①當(dāng),即時(shí)，在上遞減，在上遞增，

所以,

由于，，故，

所以;

②當(dāng),即時(shí)，在上遞增，上遞減，在上遞增，

所以，

由于，，故，7分

所以;

綜上得，

（3）結(jié)論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)9分

理由如下：

①當(dāng)時(shí)，實(shí)際上可以證明：．

方法一：直接證明的最小值大于0，可以借助虛零點(diǎn)處理．

，顯然可證在上遞增，

因?yàn)?/span>，，

所以存在，使得，

所以當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，

所以，其中，

而遞減，所以，

所以，所以命題得證。

方法二：轉(zhuǎn)化為證明，下面分別研究左右兩個(gè)函數(shù)．

令，則可求得，

令，則可求得，所以命題得證。1

方法三：先放縮，再證明．

可先證明不等式（參考第1小題，過程略），所以只要證，

令，則可求得，

所以命題得證．

②當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，，

下面證明，可借助結(jié)論處理，首先證明結(jié)論：

令，則，故，

所以在上遞增，所以，

所以在上遞增，所以，得證。

借助結(jié)論得，

所以，又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，

所以在上有零點(diǎn).