Question

為迎接2015年在蘭州舉行的“中國(guó)蘭州國(guó)際馬拉松比賽”，某單位在推介晚會(huì)中進(jìn)行嘉賓現(xiàn)在抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)盒中裝有大小相同的6個(gè)小球，分別印有“蘭州馬拉松”和“綠色金城行”兩種標(biāo)志，搖勻后，規(guī)定參加者每次從盒中同時(shí)抽取兩個(gè)小球（登記后放回并搖勻），若抽到的兩個(gè)球都印有“蘭州馬拉松”標(biāo)志即可獲獎(jiǎng)．并停止取球；否則繼續(xù)，但每位嘉賓最多抽取3次，已知從盒中抽取兩個(gè)小球不都是“綠色金城行”標(biāo)志的概率為

4

5

．
（Ⅰ）求盒中印有“蘭州馬拉松”標(biāo)志的小球的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若用η表示這位嘉賓抽取的次數(shù)，求η的分布列和期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)印有“綠色金城行”的球有n個(gè)，同時(shí)抽兩球不都是“綠色金城行”標(biāo)志為事件A，由對(duì)立事件的概率：P（A）=1-P(

.

A

)=

4

5

，即P（

.

A

）=

C 2 n

C 2 6

=

1

5

，由此能求出n．
（Ⅱ）由已知，兩種球各三個(gè)，η可能取值分別為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出η的分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)印有“綠色金城行”的球有n個(gè)，
同時(shí)抽兩球不都是“綠色金城行”標(biāo)志為事件A，
則同時(shí)抽取兩球都是“綠色金城行”標(biāo)志的概率是P（

.

A

）=

C 2 n

C 2 6

，
由對(duì)立事件的概率：P（A）=1-P(

.

A

)=

4

5

，
即P（

.

A

）=

C 2 n

C 2 6

=

1

5

，解得n=3．…（6分）
（Ⅱ）由已知，兩種球各三個(gè)，η可能取值分別為1，2，3，
P（η=1）=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

，
P（η=2）=

C 2 3

C 2 6

•

C 2 3

C 2 6

+

C 1 3 C 1 3

C 2 6

•

C 2 3

C 2 6

=

4

25

，
P（η=3）=1-P（η=1）-P（η=2）=

16

25

，
則η 的分布列為：

η	1	2	3
P	1 5	4 25	16 25

所以Eη=1×

1

5

+2×

4

25

+3×

16

25

=

61

25

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．