如圖，在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，AA′=4，M為AA′的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC′到M的最短路線長(zhǎng)為
29
，設(shè)這條最短路線與CC′的交點(diǎn)為N．求：
（1）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；
（2）PC與NC的長(zhǎng)；
（3）三棱錐C-MNP的體積．
考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,棱柱的結(jié)構(gòu)特征,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積
專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由展開(kāi)圖為矩形，用勾股定理求對(duì)角線長(zhǎng)．
（2）在側(cè)面展開(kāi)圖中三角形MAP是直角三角形，可以求出線段AP的長(zhǎng)度，進(jìn)而可以求出PC的長(zhǎng)度，再由相似比可以求得CN的長(zhǎng)度．
（3）M到平面PCN的距離d=AP=
3
3
2
，由VC-MNP=VM-PCN，利用等積法能求出三棱錐C-MNP的體積．
解答： 解：（1）由已知得直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，
其對(duì)角線長(zhǎng)為
92+42
=
97
．
（2）如圖，將側(cè)面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)成AA1C1C在同一平面上，
點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置，連接MP1，
則MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1到點(diǎn)M的最短路線，
設(shè)PC=x，則P1C=x，在Rt△MAP1中，
由勾股定理得（3+x）2+22=29，
解得x=2，∴PC=P1C=2，
∵
NC
MA
=
P1C
P1A
=
2
5
，∴NC=
4
5
．
（3）∵在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，
∴M到平面PCN的距離d=AP=
3
3
2
，
又S△PCN=
1
2
×PC×NC=
1
2
×2×
4
5
=
4
5
，
∴VC-MNP=VM-PCN=
1
3
×AP×S△PCN
=
1
3
×
3
3
2
×
4
5
=
2
3
5
．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、棱柱等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x•sinx，有下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
②存在常數(shù)T＞0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
③對(duì)于任意給定的正數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x0，使得|f（x0）|≥M；
④函數(shù)f（x）的圖象上至少存在三個(gè)點(diǎn)，使得該函數(shù)在這些點(diǎn)處的切線重合．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
 
（請(qǐng)把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線或粗虛線畫(huà)出了某簡(jiǎn)單組合體的三視圖和直觀圖（斜二測(cè)畫(huà)法），則此簡(jiǎn)單幾何體的體積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在實(shí)數(shù)集R內(nèi)，我們用“＜”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”，類(lèi)似的，我們?cè)谙蛄考弦部梢远x一個(gè)“序”的關(guān)系，記為“?”，定義如下：對(duì)于任意兩個(gè)向量
m1
=（x1，y1）•（x1，y1∈R），
m2
=（x2，y2）•（x2，y2∈R），當(dāng)取僅當(dāng)“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”時(shí)，
m1
?
m2
，按上述定義的關(guān)系“?”，給出如下四個(gè)命題：
①若
m1
?
m2
，則|
m1
|≤|
m2
|；
②若
m1
?
m2
，
m2
?
m3
，則，則
m1
?
m3
；
③若
m1
?
m2
，則對(duì)于任意
m
，都有（
m1
+
m
）?（
m2
+
m
）成立；
④對(duì)于實(shí)數(shù)λ≥0，若
m1
?
m2
，則λ
m1
?λ
m2
成立；
其中所有命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義運(yùn)算a*b，a*b
a，a≤b
b，a＞b
，例如1*2=1，已知函數(shù)f（x）=1*ax（0＜a＜1）且f（4）=
1
2014
，則f（2）=（　�。�
A、-1007
B、-1006
C、1007
D、
1
2014

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)xy最大時(shí)，該幾何體的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖（1），在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起使得平面ADE⊥平面BCDE，如圖（2），F(xiàn)是折疊后AC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角E-AB-D的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，半圓的直徑AB=6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（
PA
+
PB
）•
PC
的最小值為（　�。�
A、
9
2
B、9
C、-
9
2
D、-9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

為迎接2015年在蘭州舉行的“中國(guó)蘭州國(guó)際馬拉松比賽”，某單位在推介晚會(huì)中進(jìn)行嘉賓現(xiàn)在抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)盒中裝有大小相同的6個(gè)小球，分別印有“蘭州馬拉松”和“綠色金城行”兩種標(biāo)志，搖勻后，規(guī)定參加者每次從盒中同時(shí)抽取兩個(gè)小球（登記后放回并搖勻），若抽到的兩個(gè)球都印有“蘭州馬拉松”標(biāo)志即可獲獎(jiǎng)．并停止取球；否則繼續(xù)，但每位嘉賓最多抽取3次，已知從盒中抽取兩個(gè)小球不都是“綠色金城行”標(biāo)志的概率為
4
5
．
（Ⅰ）求盒中印有“蘭州馬拉松”標(biāo)志的小球的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若用η表示這位嘉賓抽取的次數(shù)，求η的分布列和期望．

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