Question

【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)

(1)求實數(shù)的值；

(2)判斷的單調(diào)性，并證明．

(3)若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) m＝1 (2)見解析(3)

【解析】

（1）由定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)有f（0）＝0列式求解，或直接由奇函數(shù)的定義得恒等式，由系數(shù)相等求解b的值；

（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

（3）由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，把給出的不等式轉(zhuǎn)化為含有t的一元二次不等式，分離變量k后求二次函數(shù)的最值，則答案可求．

（1）解：法一、∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴，∴m＝1，經(jīng)檢驗，函數(shù)為奇函數(shù)；

法二、由是奇函數(shù)，則

∴即對一切實數(shù)x都成立，

∴m＝1；

（2）由（1）知，f（x）在R上是減函數(shù)．

證明：設(shè)x1，x2為R上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，

則

．

∵x1＜x2，∴，，，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在R上是減函數(shù)；

（3）∵f（x）既是奇函數(shù)，又是實數(shù)集上的減函數(shù)，

∴不等式f（t﹣2t2）＞f（t2﹣t﹣k）3t2﹣2t>k，

∴對t∈R恒成立，

∴．