Question

下列命題：
①當(dāng)?x＞1時，lgx+

1

lgx

≥2；
②m+1＞n是m＞n成立的充分不必要條件；
③對于任意△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足：sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA；
④定義：如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a、b、c都在函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a）、f（b）、f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱y=f（x）為“三角形型函數(shù)”．函數(shù)h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“三角形型函數(shù)”．
其中正確命題的序號為

 

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①由基本不等式知，進(jìn)而可得命題的正誤；
②根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷出了命題p與命題q的關(guān)系；
③根據(jù)余弦定理得到a²關(guān)于b、c和cosA的式子，結(jié)合正弦定理得a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC，將其代入前面的式子，約去4R²即可得到所求證的等式成立；
④要利用“保三角形函數(shù)”的概念，證明函數(shù)h（x）=lnx （x∈[2，+∞））是保三角形函數(shù)，從而得到結(jié)論．

解答： 解：①當(dāng)x＞1時，lgx＞0
則lgx+

1

lgx

≥2

lgx× 1 lgx

=2，故①正確；
②m+1＞n?m＞n-1，
則m+1＞n是m＞n成立的必要不充分條件，故②不正確；
③△ABC中，根據(jù)余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA…（*）
又∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R（R是外接圓半徑）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
代入（*）式，得4R²sin²A=4R²sin²B+4R²sin²C-2•2RsinB•2RsinCcosA
兩邊約去4R²，得sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA，原等式成立，故③正確；
④對任意一個三角形三邊長a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
則h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．
因?yàn)閍≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna+lnb＞lnc．
同理可證明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．
所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長．
故函數(shù)h（x）=lnx （x∈[2，+∞）），是保三角形函數(shù)，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了充要條件的判定，不等式的性質(zhì)，以及解三角的有關(guān)問題，屬于中檔題．