已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，
2
)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比為
2
：1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A，B．求證：直線AB的斜率為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)，利用焦點(diǎn)為F(0，
2
)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比為
2
：1，求出a，b，即可得出橢圓C的方程；
（2）設(shè)出直線PA、PB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可證明直線AB的斜率為定值．
解答： （1）解：由已知可設(shè)橢圓C的方程為：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)
依題意：
a
b
=
2
且a2=b2+2解得：a2=4b2=2
故橢圓C的方程為：
y2
4
+
x2
2
=1…（4分）
（2）證明：由（1）知：P （1，
2
）
由已知設(shè)PA：y-
2
=k(x-1)，即：y=kx-(k-
2
)
PB：y-
2
=-k(x-1)，即：y=-kx+(k+
2
)…（6分）
由
y=kx-(k-
2
)
2x2+y2=4
得：（k2+2）x2-2k（k-
2
）x+k2-2
2
k-2=0
設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）則：x1+1=
2k2-2
2
k
k2+2

故：x1=
k2-2
2
k-2
k2+2
同理：x2=
k2+2
2
k-2
k2+2
…（10分）
直線AB的斜率kAB=
y1-y2
x1-x2
=
k(x1+x2)-2k
x1-x2
=
k
2k2-4
k2+2
-2k
-4
2
k
k2+2
=
-8k
-4
2
k
=
2

所以：直線AB的斜率為定值．                 …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
1-x
的定義域?yàn)镸，函數(shù)g（x）=lg（1+x）的定義域?yàn)镹，則（　　）
A、M∩N=（-1，1]
B、M∩N=R
C、∁RM=[1，+∞）
D、∁RN=（-∞，-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=(cos(θ-
π
4
)， 1)，
b
=（3，0），其中θ∈(
π
2
， 
5π
4
)，若
a
•
b
=1．
（Ⅰ）求sinθ的值；
（Ⅱ）求tan2θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)z=2y-2x+4，式中x，y滿足條件
0≤x≤1
0≤y≤2
2y-x≥1
，求z的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線x2-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y=kx+b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)
OA
•
OB
=k2+1時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅲ）當(dāng)
OA
•
OB
=m(k2+1)，且滿足2≤m≤4時(shí)，求△AOB面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A（x，y）到點(diǎn)F1（-1，0）與點(diǎn)F2（1，0）的距離之和為4．
（1）試求點(diǎn)A的軌跡M的方程；
（2）若斜率為
1
2
的直線l與軌跡M交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1，  
3
2
)為軌跡M上一點(diǎn)，記直線PC的斜率為k1，直線PD的斜率為k2，試問(wèn)：k1+k2是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)y=
x+
-x2+4x-3
2x
的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體：
（1）f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（2）函數(shù)f（x）有零點(diǎn)．那么在函數(shù)
①f（x）=|x|-1，②f（x）=2x-1，③f(x)=
x-2，x＞0
0，x=0
x+2，x＜0

④f（x）=x2-x-1+lnx中，
屬于M的有
 
．（寫出所有符合的函數(shù)序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題：
①當(dāng)?x＞1時(shí)，lgx+
1
lgx
≥2；
②m+1＞n是m＞n成立的充分不必要條件；
③對(duì)于任意△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA；
④定義：如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a、b、c都在函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a）、f（b）、f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱y=f（x）為“三角形型函數(shù)”．函數(shù)h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“三角形型函數(shù)”．
其中正確命題的序號(hào)為
 
．（填上所有正確命題的序號(hào)）

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