Question

某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從上午6點到中午12點，車輛通過該市某一路段的用時y（分鐘）與車輛進(jìn)入該路段的時刻t之間關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y=

- 1 8 t3- 3 4 t2+36t- 629 4 ，(6≤t＜9) t 8 + 55 4 ，(9≤t≤10) -3t2+66t-345，(10＜t≤12)

．求從上午6點到中午12點，通過該路段用時最多的時刻．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的分段函數(shù)，要求函數(shù)的最大值，需要求出每一段上的最大值再進(jìn)行比較，在函數(shù)的第一段，所給的是一個三次函數(shù)式，需要利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最大值，第二段是一個一次函數(shù)，直接根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來做，第三段是一個二次函數(shù)，根據(jù)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來做，對于三段做出的函數(shù)值進(jìn)行比較，得到結(jié)果．

解答：解：根據(jù)所給的分段函數(shù)，要求函數(shù)的最大值，需要求出每一段上的最大值再進(jìn)行比較，
當(dāng)6≤t＜9時．
y′=-

3

8

t2-

3

2

t+36，(2分)=-

3

8

(t+12)(t-8)．
令y'=0，得t=-12或t=8．，（3分）
當(dāng)6≤t＜8時，y'＞0，當(dāng)8＜t＜9時，y'＜0，
所以當(dāng)t=8時，y有最大值，（5分）
y_max=18.75（分鐘），（6分）
當(dāng)9≤t≤10時，y=

1

8

t+

55

4

是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=10時，y_max=15（分鐘）．，（8分）
當(dāng)10＜t≤12時，
y=-3（t-11）²+18，
∴當(dāng)t=11時，y_max=18（分鐘）．，（11分）
綜上所述上午8時該路段所用的最多．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和分段函數(shù)的最值的求法，本題解題的關(guān)鍵是首先對于所給的三段上的函數(shù)求出最值，再比較三個最值的大小，三個最值種最大的結(jié)果即為所求．