Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²-3a²x，其中a≥0
（1）若f′（0）=-3，求a的值；
（2）在（1）條件下，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用f′（0）=-3，可求a的值；
（2）求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率，可得切線方程；
（3）分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-ax²-3a²x，
∴f′（x）=x²-2ax-3a²，
∵f′（0）=-3，a≥0，
∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）=

1

3

x³-x²-x，f′（x）=x²-2x-3，
∴f（1）=-

11

3

，f′（1）=-4，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為12x+3y-1=0；
（3）f′（x）=x²-2ax-3a²=（x-3a）（x+a）＞0
∵a＞0，∴x＜-a或x＞3a．
當(dāng)a≤

2

3

時(shí)，函數(shù)在（0，3a）上單調(diào)遞減，在（3a，2）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為f（3a）=-9a³；
當(dāng)a＞

2

3

時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上為減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為f（2）=

8

3

-4a-6a²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．