Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）．
①

b

a

cosC＜1-

c

a

cosB；
②若acosA=ccosC，則△ABC一定為等腰三角形；
③若A是鈍角△ABC中的最大角，則-1＜sinA+cosA＜1；
④若A=

π

3

，a=

3

，則b的最大值為2．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①由正弦定理可得

b

a

cosC+

c

a

cosB=

sin(B+C)

sinA

=1；
②由正弦定理可得sin2A=sin2C，從而2A=2C或2A+2C=π即A=C或A+C=

π

2

；
③A是鈍角△ABC中的最大角，則A∈（

π

2

，π），sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），從而可得

2

sin（A+

π

4

）∈（-1，1）；
④由正弦定理可得b=

asinB

sinA

≤2，當(dāng)且僅當(dāng)B=

π

2

時(shí)，b的最大值為2

解答： 解：①由正弦定理可得

b

a

cosC+

c

a

cosB=

sin(B+C)

sinA

=1，故不正確；
②∵acosA=ccosC，∴sinAcosA=sinCcosC即sin2A=sin2C，∵△ABC的內(nèi)角A，B，C，∴2A=2C或2A+2C=π即A=C或A+C=

π

2

，故不正確；
③A是鈍角△ABC中的最大角，則A∈（

π

2

，π），sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），∵A+

π

4

∈（

3

4

π，

5π

4

），∴

2

sin（A+

π

4

）∈（-1，1），正確；
④∵A=

π

3

，a=

3

，∴由正弦定理可得b=

asinB

sinA

≤2，當(dāng)且僅當(dāng)B=

π

2

時(shí)，b的最大值為2，正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．