Question

設(shè)P是圓x²+y²=4上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，M是線段PD上的點(diǎn)，且滿足|DM|=m|PD|（0＜m＜1），當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)曲線C的左焦點(diǎn)F作斜率為

2

2

的直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足

OA

+

OB

+

OQ

=

0

，是否存在實(shí)數(shù)m，使得點(diǎn)Q在曲線C上，若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由|DM|=m|PD|，確定M，P的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求曲線C的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

OA

+

OB

+

OQ

=

0

，求出Q的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）如圖設(shè)M（x，y）、P（x₀，y₀），則由|DM|=m|PD|（0＜m＜1）得
x=x₀，|y|=m|y₀|，即

x0=x |y0|= 1 m |y|

∵x02+y02=4，∴

x2

4

+

y2

4m2

=1，即為曲線C的方程；…6′
（2）設(shè)c=2

1-m2

，則F(-c，0)，l：y=

2

2

(x+c)
由

x2 4 + y2 4m2 =1 y= 2 2 (x+c)

得：（2m²+1）x²+2cx+4-12m²=0…8′
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
則x1+x2=-

2c

2m2+1

，x1x2=

4-12m2

2m2+1

．
∴y1+y2=

2

2

(x1+x2+2c)，…9′
∵

OQ

=-(

OA

+

OB

)=-(x1+x2，y1+y2)=(

2c

2m2+1

，

-2 2 cm2

2m2+1

)
即Q點(diǎn)坐標(biāo)為(

2c

2m2+1

，

-2 2 cm2

2m2+1

)，將Q點(diǎn)代入

x2

4

+

y2

4m2

=1，得m=

2

2

．
∴存在當(dāng)m=

2

2

時(shí)，Q點(diǎn)在曲線C上．…13′

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用代入法是關(guān)鍵．