Question

設(shè)a，b，c∈R，且a+b+c=2，a²+b²+c²=12，則c的最大值和最小值的差為（　　）

• A、2
• B、

  10

  3

• C、

  16

  3

• D、

  20

  3

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：計(jì)算題

分析：將c看成常數(shù)，求出a+b，ab，構(gòu)造方程x²-（2-c）x+c²-2c-4=0，應(yīng)用判別式不小于0，解出不等式，求出c的最大值和最小值，作差即可．

解答： 解：∵a+b+c=2，∴a+b=2-c．
∵a²+b²+c²=12，
∴（a+b）²-2ab+c²=12，
∴（2-c）²-2ab+c²=12，
∴ab=c²-2c-4．
于是a，b可以看成是關(guān)于x的方程x²-（2-c）x+c²-2c-4=0的兩根，
∴△=（2-c）²-4（c²-2c-4）≥0，
解得，-2≤c≤

10

3

，
∴c的最大值為

10

3

，最小值為-2，
即c的最大值和最小值的差為

16

3

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查多元最值問(wèn)題，解決的方法是將其中的一個(gè)看作常數(shù)，應(yīng)用基本不等式或二次方程有實(shí)數(shù)解的條件，判別式不小于0，解出不等式．