Question

已知雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1及點(diǎn)P（2，1），是否存在過點(diǎn)P的直線l，使直線l被雙曲線截得的弦恰好被P點(diǎn)平分？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點(diǎn)代入雙曲線方程，作差，假設(shè)P為AB的中點(diǎn)，求出直線的斜率，從而可得方程，再代入雙曲線方程驗(yàn)證，可知這樣的直線不存在．

解答： 解：假設(shè)符合題意的直線l存在．…（1分）
設(shè)直線l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴

x12 16 - y12 9 =1 x22 16 - y22 9 =1

. 兩式相減可得到 

y1+y2

x1+x2

•

y1-y2

x1-x2

=

9

16

．…（5分）
∵P（2，1）為AB的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．…（7分）
∴kl=

y1-y2

x1-x2

=

9

8

．…（8分）
∴直線l的方程為y-1=

9

8

(x-2) ，即9x-8y-10=0    …（10分）
由過p與雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)時(shí)-

b

a

≤k≤

b

a

即-

3

4

≤k≤

3

4

…（11分）
∴不存在符合題意的直線l．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，主要考查點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦問題，應(yīng)注意驗(yàn)證結(jié)論是否滿足題意．