Question

已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別是、,是橢圓右準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，線段的垂直平分線過點(diǎn).又直線：按向量平移后的直線是，直線：按向量平移后的直線是 (其中)。
（1） 求橢圓的離心率的取值范圍。
（2）當(dāng)離心率最小且時(shí)，求橢圓的方程。
（3）若直線與相交于（2）中所求得的橢圓內(nèi)的一點(diǎn)，且與這個(gè)橢圓交于、兩點(diǎn)，與這個(gè)橢圓交于、兩點(diǎn)。求四邊形ABCD面積的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）；（3） .

試題分析：（1）要求離心率e的范圍，就要找出含e的不等式.這個(gè)不等式從哪里來？

線段的垂直平分線過點(diǎn)，所以，兩邊除以得：，解這個(gè)不等式即可得離心率的取值范圍：.（2）由（1）知的最小值為，即.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030931447631.png" style="vertical-align:middle;" />，這樣便得一個(gè)方程組，解這個(gè)方程組即可.
（3）據(jù)條件知直線與相互垂直，所以四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，其面積.
求出直線與的方程，聯(lián)立起來解方程組便可得交點(diǎn)P的坐標(biāo).因?yàn)榻粦?zhàn)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，據(jù)此可得m的范圍.接下來將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，再用弦長(zhǎng)公式，可得弦AC，再將與橢圓的方程聯(lián)立，可得弦BD，由此可得四邊形ABCD面積與m的函數(shù)關(guān)系式，再用前面求得的m的范圍，就可求出這個(gè)函數(shù)式的范圍，即四邊形ABCD面積的取值范圍.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距是，則據(jù)條件有

解之得：                            3分
（2）據(jù)（1）知，又，得橢圓的方程是
                                    6分
（3）據(jù)條件有
：
：                               7分
由  解得
因在橢圓內(nèi)，有                      9分
又由，消去得

所以
據(jù)對(duì)稱性易知       12分
所以                                13分
而，所以                               14分