Question

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．
（1）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；
（2）求S²的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程

x2

r2

+

x2

4r2

=1，y≥0，由此能求出面積S以x為自變量的函數(shù)式及其定義域．
（2）設(shè)f（x）=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，則f′（x）=S（x+r）²（r-2x），令f′（x）=0，得x=

1

2

y，由此能求出x=

1

2

r時(shí)，S²取得最大值

27

4

r4．

解答： 解：（1）依題意，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖
則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程

x2

r2

+

x2

4r2

=1，y≥0，
解得y=2

r2-x2

，（0＜x＜r）．
∴S=

1

2

(2x+2r)•2

r2-x2

=2（x+r）•

r2-x2

，其定義域?yàn)閧x|0＜x＜r}．
（2）設(shè)f（x）=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，
則f′（x）=S（x+r）²（r-2x），
令f′（x）=0，得x=

1

2

y，
∵當(dāng)0＜x＜

r

2

時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)

r

2

＜x＜r時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，

r

2

）上是遞增函數(shù)，在（

r

2

，r）上是遞減函數(shù)，
∴f（

1

2

r）是f（x）的最大值，
∴當(dāng)x=

1

2

r時(shí)，S²也取得最大值，最大值是

27

4

r4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．