Question

已知函數(shù)f（x）=e^ax-x，其中a≠0，函數(shù)f（x）的導函數(shù)是f′（x）．
（I）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)g（x）=|

ln[f′(x)+1]-lna-a2

ln[f′(x)+1]-lna+2a2

|在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由？

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導數(shù)的運算,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）可判斷a＜0時不等式不成立，從而得知a＞0，則問題轉化為f（x）_min≥1，利用導數(shù)可求得f（x）_min=

1

a

-

1

a

ln

1

a

，進而通過構造函數(shù)利用導數(shù)可解不等式；
（Ⅱ）要存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），使曲線y=g（x）在（x₁，g（x₁），（x₂，g（x₂））兩點處的切線互相垂直，須g′（x₁）•g（′（x₂）=-1，根據(jù)導數(shù)的符號可判斷，有a＞4，且x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），而g′（x₁）•g′（x₂）=-1⇒x1+2a=

3a

x2+2a

①，由x₁+2a∈（2a，3a），

3a

x2+2a

∈(

3a

4+2a

，1)知，問題等價于集合A={x|2a＜x＜3a}與集合B={x|

3a

4+2a

＜x＜1}的交集非空，借助數(shù)軸可得不等式；

解答： 解：（I）若a＜0則對一切x＞0，f（x）=e^ax-x＜1這與題設矛盾；
又a≠0，故a＞0，
f′（x）=ae^ax-1，f′（x）=0⇒x=

1

a

ln

1

a

，
當x＜

1

a

ln

1

a

，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x＞

1

a

ln

1

a

，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
故當x=

1

a

ln

1

a

時，f（x）_min=f（

1

a

ln

1

a

）=

1

a

-

1

a

ln

1

a

，
對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當且僅當

1

a

-

1

a

ln

1

a

≥1①，
令g（t）=t-tlnt，g′（t）=-lnt，
當0＜t＜1時，g′（t）＞0，當t＞1時，g′（t）＜0，
∴當t=1時，g（t）_max=g（1）=1，
當且僅當

1

a

=1⇒a=1時，（1）式成立，
∴a的取值集合是{1}．
（Ⅱ）g（x）=|

x-a

x+2a

|，
當x∈（0，a），g（x）=

-x+a

x+2a

，g′（x）=

-3a

(x+2a)2

＜0，g（x）遞減，
當x∈（a，+∞），g（x）=

x-a

x+2a

，g′（x）=

3a

(x+2a)2

＞0，g（x）遞增，
若a＞4，g（x）在（0，4）上遞減，故不滿足要求；
當a＜4，g（x）在（0，a）上遞減，在（a，4）上遞增，
若存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），使曲線y=g（x）在（x₁，g（x₁），（x₂，g（x₂））兩點處的切線互相垂直，
則x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），
且g′（x₁）•g（′（x₂）=-1⇒

-3a

(x1+2a)2

•

3a

(x2+2a)2

=-1⇒x1+2a=

3a

x2+2a

①，
由x₁∈（0，a）⇒x₁+2a∈（2a，3a），x₂∈（a，4）⇒

3a

x2+2a

∈(

3a

4+2a

，1)，
故①式成立，等價于集合A={x|2a＜x＜3a}與集合B={x|

3a

4+2a

＜x＜1}的交集非空，
又

3a

4+2a

＜3a，當且僅當0＜2a＜1即0＜a＜

1

2

時，A∩B≠∅，
所以a的取值范圍是（0，

1

2

）．

點評：該題考查導數(shù)的運算、幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立等知識，考查轉化思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力．