Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=5，a_n+1+4a_n=5
（Ⅰ）求證：{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=|a_n|，求|b_n|的前2014項(xiàng)和S₂₀₁₄．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求出數(shù)列b_n=|a_n|的通項(xiàng)公式，利用分組求和法即可求|b_n|的前2014項(xiàng)和S₂₀₁₄．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=5，a_n+1+4a_n=5，
∴a_n+1=5-4a_n，
即a_n+1-1=-4（a_n-1），
∵a₁-1=5-1=4，
∴{a_n-1}是公比q=-4，首項(xiàng)為4的等比數(shù)列；
（Ⅱ）∵{a_n-1}是公比q=-4，首項(xiàng)為4的等比數(shù)列；
∴a_n-1=4•（-4）^n-1，即a_n=4•（-4）^n-1+1．
若n為奇數(shù)，則b_n=|a_n|=|4•（-4）^n-1+1|=1+4ⁿ，
若n為偶數(shù)，則b_n=|a_n|=|4•（-4）^n-1+1|=4ⁿ-1．
則|b_n|的前2014項(xiàng)和S₂₀₁₄=（1+4）+（4²-1）+（1+4³）+…+（1-4²⁰¹³）+（4²⁰¹⁴-1）
=1+4+4²+4³+…+4²⁰¹³+4²⁰¹⁴=

1-42015

1-4

=

42015-1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．