Question

命題甲：函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+a²在實數(shù)集R上沒有零點；命題乙：函數(shù)f（x）=（2a²-a）^x在R上是增函數(shù)．若甲、乙中有且只有一個真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：不等式的解法及應用,簡易邏輯

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以求出命題甲：函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+a²在實數(shù)集R上沒有零點時a的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的關系，可以求出命題乙：函數(shù)y=（2a²-a）^x為R上增函數(shù)為真命題時，a的取值范圍，依題意，甲、乙至少有一個是真命題，則甲真乙假或甲假乙真，分別解之，取并即可．

解答： 解：若命題甲：函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+a²在實數(shù)集R上沒有零點，
則△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1＜0，
即3a²+2a-1＞0，
解得a＜-1，或a＞

1

3

；
若命題乙：函數(shù)y=（2a²-a）^x為R上的增函數(shù)，
則2a²-a＞1，即2a²-a-1＞0，
解得a＜-

1

2

，或a＞1；
∵甲、乙中有且只有一個真命題，
（1）若甲、乙至少有一個是真命題，
∴甲真乙假或甲假乙真．
若甲真乙假，則

a＜-1，或a＞ 1 3 - 1 2 ≤a≤1

，解得

1

3

＜a≤1；
若甲假乙真，則

-1≤a≤ 1 3 a＜- 1 2 ，或a＞1

，解得-1≤a＜-

1

2

．
綜上所述，

1

3

＜a≤1或-1≤a＜-

1

2

．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-1，-

1

2

）∪（

1

3

，1]．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于中檔題．