Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的上頂點為A,左、右焦點分別為F1,F2,且橢圓C過點P,以AP為直徑的圓恰好過右焦點F2.

(1) 求橢圓C的方程;

(2) 若動直線l與橢圓C有且只有一個公共點,試問:在x軸上是否存在兩定點,使其到直線l的距離之積為1?若存在,請求出兩定點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

　

Answer 1

 (1) 因為橢圓過點P,所以+=1,解得a2=2.由題知A(0,b),F2(c,0),

又以AP為直徑的圓恰好過右焦點F2,所以AF2⊥F2P,所以·=-1,即-·=-1,b2=c(4-3c).

而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c=1,

故橢圓C的方程是+y2=1.

(2) ①當(dāng)直線l斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+p,代入橢圓方程得

(1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0.

因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點,所以

Δ=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2-p2)=0,

即1+2k2=p2.

設(shè)在x軸上存在兩點 (s,0),(t,0),使其到直線l的距離之積為1,則

·==1,

即(st+1)k2+kp(s+t)=0(*)或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).

由(*)恒成立,得

解得或

而(**)不恒成立.

②當(dāng)直線l斜率不存在時,直線方程為x=±時,

定點(-1,0),(1,0)到直線l的距離之積d1·d2=(-1)(+1)=1.

綜上,存在兩個定點(1,0),(-1,0),使其到直線l的距離之積為定值1.