【題目】如圖，在三棱錐中，，二面角的大小為120°，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接，并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，可證得，從而得證；

（2）過(guò)點(diǎn)在中作，與相交于點(diǎn)，可得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求平面的法向量和平面的一個(gè)法向量為，再求得，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系即可得解.

（1）證明：連接，并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，

在中，有，

所以，

則平面，平面，

所以平面；

（2）解：過(guò)點(diǎn)在中作，與相交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，，則為二面角的平面角，則。

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，，，則，，，，

所以

記平面的法向量，

則

令，得到平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，

令，得到平面的一個(gè)法向量，

，

設(shè)二面角的平面角為，則，

即二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的焦點(diǎn)分別為，，橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)，作平行直線，，交橢圓于兩點(diǎn)，和兩點(diǎn)，.

（1）求的方程；

（2）求四邊形面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

Ⅰ當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值并判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；

Ⅱ當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且時(shí)，總有成立，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（2017高考新課標(biāo)Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】命題p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則P是q的（　　）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當(dāng)中（）的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？

（2）求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說(shuō)明其實(shí)際意義．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y＝4x＋2．

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2時(shí)，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)=.

（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；

（2）若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知，若方程在有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)某種型號(hào)的電視機(jī)零配件，為了預(yù)測(cè)今年月份該型號(hào)電視機(jī)零配件的市場(chǎng)需求量，以合理安排生產(chǎn)，工廠對(duì)本年度月份至月份該型號(hào)電視機(jī)零配件的銷(xiāo)售量及銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元）和銷(xiāo)售量（單位：千件）之間的組數(shù)據(jù)如下表所示：

月份

銷(xiāo)售單價(jià)（元）

銷(xiāo)售量（千件）

（1）根據(jù)1至月份的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到）；

（2）結(jié)合（1）中的線性回歸方程，假設(shè)該型號(hào)電視機(jī)零配件的生產(chǎn)成本為每件元，那么工廠如何制定月份的銷(xiāo)售單價(jià)，才能使該月利潤(rùn)達(dá)到最大（計(jì)算結(jié)果精確到）？

參考公式：回歸直線方程，其中.

參考數(shù)據(jù)：.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案