Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為的中點..

（1）求證：平面平面；

（2）若為的中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接,利用勾股定理證得和,進而得證；

（2）以為坐標原點,分別以為軸建立空間直角坐標系,分別求得平面和平面的法向量,進而利用數量積求夾角即可

解：（1）連接,因為為的中點,

所以,

因為,

所以,所以,

在中,因為,

所以,,

在中,,所以,即,

因為,所以平面ABC,

又因為平面,所以平面平面

（2）解：由（1）得,

故以為坐標原點,分別以為軸建立空間直角坐標系,如圖所示,

由題,,,,

因為為的中點,所以的坐標為,

所以,,

設為平面的一個法向量,

則,得,取,則,,即

由（1）,平面平面,平面平面,平面,所以平面,

為平面的一個法向量,,

,

所以二面角的余弦值為