【題目】已知函數(shù)是減函數(shù).
(1)試確定a的值;
(2)已知數(shù)列,求證:.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見證明
【解析】
(Ⅰ)求導得,由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過求導判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;
(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當時,,則,即,兩邊同除以得,,即,從而 ,兩邊取對數(shù) ,然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過求導證明即可。
解:(Ⅰ)的定義域為,.
由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立.
設.
∵,由知,
∴當時,;當時,,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴在時取得最大值.
又∵,∴對任意的,恒成立,即的最大值為.
∴,解得.
(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當時,,
∴,即.
兩邊同除以得,,即.
從而 ,
所以 ①.
下面證;
記,.
∴ ,
∵在上單調(diào)遞增,
∴在上單調(diào)遞減,
而,
∴當時,恒成立,
∴在上單調(diào)遞減,
即時,,
∴當時,.
∵,
∴當時,,即②.
綜上①②可得,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】己知動點M與到點N(3,0)的距離比動點M到直線x=-2的距離大1,記動圓M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B:兩點,且(O為坐標原點),證明直線l經(jīng)過定點H,并求出H點的坐標.
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【題目】某校夏令營有3名男同學和3名女同學,其年級情況如下表:
一年級 | 二年級 | 三年級 | |
男同學 | A | B | C |
女同學 | X | Y | Z |
現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)
用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果
設為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”,求事件發(fā)生的概率.
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【題目】上饒市在某次高三適應性考試中對數(shù)學成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,全市10000名學生的成績近似服從正態(tài)分布,現(xiàn)某校隨機抽取了50名學生的數(shù)學成績分析,結(jié)果這50名學生的成績?nèi)拷橛?/span>85分到145分之間,現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組,第一組,第二組,…,第六組,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)試由樣本頻率分布直方圖估計該校數(shù)學成績的平均分數(shù);
(2)若從這50名學生中成績在125分(含125分)以上的同學中任意抽取3人,該3人在全市前13名的人數(shù)記為,求的概率.
附:若,則,,.
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【題目】定義區(qū)間,,,的長度均為,其中.
(1)已知函數(shù)的定義域為,值域為,寫出區(qū)間長度的最大值與最小值.
(2)已知函數(shù)的定義域為實數(shù)集,滿足 (是的非空真子集).集合, ,求的值域所在區(qū)間長度的總和.
(3)定義函數(shù),判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點,并求不等式解集區(qū)間的長度總和.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,短軸長是2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的下頂點為D,過點D作兩條互相垂直的直線l1,l2,這兩條直線與橢圓C的另一個交點分別為M,N.設l1的斜率為k(k≠0),△DMN的面積為S,當,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某大型工廠招聘到一大批新員工.為了解員工對工作的熟練程度,從中隨機抽取100人組成樣本,統(tǒng)計他們每天加工的零件數(shù),得到如下數(shù)據(jù):
將頻率作為概率,解答下列問題:
(1)當時,從全體新員工中抽取2名,求其中恰有1名日加工零件數(shù)達到240及以上的概率;
(2)若根據(jù)上表得到以下頻率分布直方圖,估計全體新員工每天加工零件數(shù)的平均數(shù)為222個,求的值(每組數(shù)據(jù)以中點值代替);
(3)在(2)的條件下,工廠按工作熟練度將新員工分為三個等級:日加工零件數(shù)未達200的員工為C級;達到200但未達280的員工為B級;其他員工為A級.工廠打算將樣本中的員工編入三個培訓班進行全員培訓:A,B,C三個等級的員工分別參加高級、中級、初級培訓班,預計培訓后高級、中級、初級培訓班的員工每人的日加工零件數(shù)分別可以增加20,30,50.現(xiàn)從樣本中隨機抽取1人,其培訓后日加工零件數(shù)增加量為X,求隨機變量X的分布列和期望.
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