Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

x+2

x-2

，g（x）=log₂（x-2）+log₂（p-x）（p＞2）．
（1）求使f（x）與g（x）同時(shí)有意義的實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p＞6，求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義即可求出取值范圍，
（2）先根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，得到F（x）=log₂（x+2）（p-x），再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₂

x+2

x-2

，
∴

x+2

x-2

＞0，
解得x＜-2，或x＞2，
∵g（x）=log₂（x-2）+log₂（p-x）（p＞2）．
∴

x-2＞0 p-x＞0

，
解得2＜x＜p，
∵使f（x）與g（x）同時(shí)有意義，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為（2，p）；
（2）∵F（x）=f（x）+g（x）=log₂

x+2

x-2

+log₂（x-2）+log₂（p-x）=log₂（x+2）（p-x），
設(shè)u=（x+2）（p-x）=-（x-

p-2

2

）²+

(p+2)2

4

，
拋物線的對(duì)稱軸是x=

p-2

2

，
∵當(dāng)p＞6時(shí)，x=

p-2

2

＞2，
∴F（x）_max=F（

p-2

2

）=log₂

(p+2)2

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．