Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，當(dāng)x₂＞x₁＞0時(shí)，給出以下幾個(gè)結(jié)論：
①（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0
②

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1
③f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁；
④x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
⑤當(dāng)lnx₁＞-1時(shí)，x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₂f（x₁）
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過(guò)觀察選項(xiàng)，出現(xiàn)了函數(shù)值的大小比較，可以看出需要利用函數(shù)的單調(diào)性去比較函數(shù)值及變量的大小關(guān)系，所以先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，判斷它的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．判斷的結(jié)果是f（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增．第一個(gè)比較容易判斷是不正確的，而第二、第三和第四個(gè)需要構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性去判斷即可．第五個(gè)結(jié)論的證明可能要麻煩些，需要對(duì)第五個(gè)結(jié)論做一下變形，看到第五個(gè)結(jié)論之后，應(yīng)想到把它變成：x₁f（x₁）-x₂f（x₁）＞x₂f（x₁）-x₂f（x₂），變形之后，在觀察它和第四個(gè)結(jié)論有什么關(guān)系，因?yàn)樗鼈冃问缴舷嗨�，用上第四個(gè)結(jié)論，再根據(jù)f（x）的單調(diào)性，可能就得出對(duì)第五個(gè)結(jié)論的判斷．

解答： 解：f′（x）=lnx+1，x∈（0，

1

e

）時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減；
x∈（

1

e

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增．
①（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0不正確，∵當(dāng)x₁，x₂∈（

1

e

，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，∴x₂＞x₁，得到f（x₂）＞f（x₁）；
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0．
②令g（x）=f（x）-x=xlnx-x，則g′（x）=lnx，設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），則g′（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以由x₂＞x₁得g（x₂）＞g（x₁）；
∴f（x₂）-x₂＞f（x₁）-x₁，∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1．
③構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-x=xlnx-x，h′（x）=lnx，∴x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，∴函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，設(shè)x₁，x₂∈（0，1），所以由x₁＜x₂得，h（x₁）＞h（x₂）；
∴f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1．
④設(shè)φ（x）=

f(x)

x

lnx，φ′（x）=

1

x

，∴在（0，+∞）上φ′（x）＞0，∴函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴由x₁＜x₂得：φ（x₁）＜φ（x₂），即：

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

；
∴x₂f（x₁）＜x₁f（x₂），∴④正確．
⑤∵lnx₁＞-1，∴x＞

1

e

，∵x₂＞x₁，∴x2＞

1

e

；
由前面知，f（x）在（

1

e

，+∞）上是增函數(shù)，所以（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂）＞0，即x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）．
由④知x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）得：x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞2x₂f（x₁）．
∴x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₂f（x₁），∴⑤正確．故答案是：④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題中用到了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用到了函數(shù)單調(diào)性的定義．需要學(xué)習(xí)掌握的是構(gòu)造函數(shù)的辦法，學(xué)習(xí)怎么構(gòu)造函數(shù)．對(duì)于最后一個(gè)結(jié)論，需對(duì)第五個(gè)結(jié)論中的不等式做一下變形，然后用上第四個(gè)結(jié)論，能想著用第四的結(jié)論，是證明這一結(jié)論的關(guān)鍵．