Question

已知數列{a_n}各項均不為0，且滿足關系式an=

3an-1

an-1+3

（n≥2）．
（1）求證數列{

1

an

}為等差數列；
（2）當a₁=

1

2

時，求數列{

1

an

}的前100項和，并寫出數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出

1

an

=

an-1+3

3an-1

=

1

an-1

+

1

3

，由此能證明數列{

1

an

}為等差數列．
（2）由a₁=

1

2

，得

1

an

=2+（n-1）×

1

3

=

1

3

n+

5

3

，由此能求出數列{

1

an

}的前100項和和數列{a_n}的通項公式．

解答： （1）證明：∵a_n=

3an-1

an-1+3

（n≥2），
∴

1

an

=

an-1+3

3an-1

=

1

an-1

+

1

3

，
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

3

，n≥2，
∴數列{

1

an

}為等差數列．
（2）解：∵a₁=

1

2

，∴

1

a1

=2，
又

1

an

-

1

an-1

=

1

3

，∴

1

an

=2+（n-1）×

1

3

=

1

3

n+

5

3

，
∴數列{

1

an

}的前100項和：
S₁₀₀=

1

3

(1+2+3+…+100）+

5

3

×100
=

1

3

×

100×101

2

+

500

3

=

5550

3

．
∵

1

an

=

1

3

n+

5

3

，
∴an=

3

n+5

．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式和前100項和的求法，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的靈活運用．