Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+1

．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=2 

1

an

-n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：整體思想,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）本題先構(gòu)造新數(shù)列，由于新數(shù)列成等差，通過新數(shù)列的通項公式，求出已知數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）利用等比數(shù)列求和公式，先對數(shù)列進(jìn)行求和，再解相應(yīng)的不等式，求出n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵an+1=

an

an+1

，a₁=1．
∴a_n≠0，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
即

1

an+1

-

1

am

=1．
∴{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=n．
∴an=

1

n

．
（Ⅱ）bn=2

1

an

-n=2ⁿ-n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+2+…+n）
=2n+1-2-

n(n+1)

2

．
∵Sn-2n+1+47＜0．
即2n+1-2-

n(n+1)

2

-2n+1+47＜0，
∴n²+n-90＞0，
∴n＞9或n＜-10．
∵n∈N^*，
∴n＞9．即n≥10．
∴n的最小值為10．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列定義、等比數(shù)列求和公式，以及一元二次不等式，本題有一定的綜合性，難度較大，屬于中檔題．