Question

已知函數(shù)f(x)=x-

1

x

-alnx
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與圓x²+y²-2y=0相切，求a的值；
（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在坐標(biāo)軸x軸的上方，試求出a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)的曲線的切線斜率，寫(xiě)出切線方程，由切線與圓相切求得a；
（2）由f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，由題意得，只需當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0恒成立．
設(shè)g（x）=x²-ax+1，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=x-

1

x

-alnx，
∴f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

，∴f′（1）=2-a，又f（1）=0，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的切線方程為y-0=（2-a）（x-1），
即（2-a）x-y+a-2=0，
又圓x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1，故圓心（0，1），半徑為1，
∴由函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與圓x²+y²-2y=0相切得，

|-1+a-2|

(2-a)2+(-1)2

=1，即（a-3）²=（2-a）²+1，解得a=2．
（2）∵函數(shù)f(x)=x-

1

x

-alnx，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
又f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，
∴由題意得，只需當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0恒成立．
設(shè)g（x）=x²-ax+1，則△=a²-4，
∴當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，△＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
∴x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0，
當(dāng)a＜-2時(shí)，函數(shù)g（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=

a

2

＜-1，則g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≥g（1）=2-a＞0，
即f′（x）＞0恒成立，故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
∴x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0，
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)g（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=

a

2

＞1，g（x）在[1，

a

2

]是減函數(shù)，g（x）＜g（1）=2-a＜0，
故f′（x）＜0，∴f（x）在[1，

a

2

]上是減函數(shù)；
∴當(dāng)1＜a＜

a

2

時(shí)，f（x）＜f（1）=0與當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0矛盾，
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程與判斷函數(shù)的單調(diào)性、求最值等知識(shí)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想的運(yùn)用能力，綜合性強(qiáng)，屬難題．