Question

已知a＞0且a≠1，數(shù)列{a_n}是首項與公比均為a的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•lga_n
（1）若a=3，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（2）若對于n∈N^*，總有b_n＜b_n+1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}是首項與公比均為a的等比數(shù)列，當a=3時，an=3n，可得b_n=a_n•lga_n=3ⁿlg3ⁿ=n•3ⁿ．再利用“錯位相減法”即可得出；
（2）數(shù)列{a_n}是首項與公比均為a的等比數(shù)列，a＞0且a≠1，可得an=an．b_n=a_n•lga_n=n•aⁿ．由于對于n∈N^*，總有b_n＜b_n+1，可得a＞

n

n+1

，由于數(shù)列{

n

n+1

}是單調(diào)遞增數(shù)列，且

n

n+1

=1-

1

n+1

＜1，即可得出．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項與公比均為a的等比數(shù)列，
∴當a=3時，an=3n，
b_n=a_n•lga_n=3ⁿlg3ⁿ=n•3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(3n-1)

3-1

-n×3ⁿ⁺¹=

1-2n

2

×3n+1-

3

2

，
∴S_n=

2n-1

4

×3n+1+

3

4

．
（2）∵數(shù)列{a_n}是首項與公比均為a的等比數(shù)列，a＞0且a≠1，
∴an=an．
∴b_n=a_n•lga_n=n•aⁿ．
∵對于n∈N^*，總有b_n＜b_n+1，
∴n•aⁿ＜（n+1）•aⁿ⁺¹，
∴a＞

n

n+1

，
∵數(shù)列{

n

n+1

}是單調(diào)遞增數(shù)列，且

n

n+1

=1-

1

n+1

＜1，
∴a≥1．
∴a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．