Question

對于△ABC，總滿足：

CD

=sin²θ

CA

+cos²θ

CB

，

CD

•

AB

=

3

|AB|²，且

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，則：
①△ABC一定是鈍角三角形；②CA＜CB；③?x∈R，θ=x；
④∠ADC的最小值小于30°；⑤CD可能是一條中線；⑥∠C的最大值小于30°．
上述對于△ABC的描述錯(cuò)誤的是：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：對于△ABC，由

CD

=sin²θ

CA

+cos²

CB

，sin²θ+cos²θ=1，可得點(diǎn)D在線段AB上．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．由

CD

•

AB

=

3

|AB|²，可得|

DE

|=

3

|

AB

|．可知：點(diǎn)E在線段BA的延長線上．因此∠CAB一定是鈍角，CA＜CB，且

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，則點(diǎn)D不能與點(diǎn)B重合，因此θ≠kπ（k∈Z）．
|

DE

|=

3

|

AB

|，不妨取AB=1，則DE=

3

．tanA=

CE

AE

，tanB=

CE

EA+AB

=

CE

EA+1

，tan∠BDC=-

CE

ED

=-

CE

3

，利用

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，可得CE=2

3

-1．即可判斷出．

解答： 解：對于△ABC，由

CD

=sin²θ

CA

+cos²

CB

，sin²θ+cos²θ=1，可得點(diǎn)D在線段AB上．
過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．
由

CD

•

AB

=

3

|AB|²，可得|

CD

||

AB

|cos（π-∠CDB）=

3

|

AB

|2，∴|

CD

|cos∠CDA=

3

|

AB

|，∴|

DE

|=

3

|

AB

|．
可知：點(diǎn)E在線段BA的延長線上．因此∠CAB一定是鈍角，CA＜CB，
且

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，則點(diǎn)D不能與點(diǎn)B重合，因此θ≠kπ（k∈Z）．
∵|

DE

|=

3

|

AB

|，不妨取AB=1，則DE=

3

．
tanA=

CE

AE

，tanB=

CE

EA+AB

=

CE

EA+1

，tan∠BDC=-

CE

ED

=-

CE

3

，
∵

1

tan∠A

-

1

tan∠B

-

2

tan∠BDC

=1恒成立，
∴

AE-EA-1

CE

+

2 3

CE

=1，解得CE=2

3

-1．
∴tan∠ADC=

2 3 -1

3

＞

1

3

，∴∠ADC的最小值大于30°，
∠C的最大值大于30°，CD可能是一條中線．
綜上可得：③④⑥錯(cuò)誤．
故答案為：③④⑥．

點(diǎn)評：本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算、直角三角形的邊角關(guān)系、正切函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．