Question

已知函數y=

1

2

sin（3x+

π

6

）+1．
（1）求y取最大值和最小值時相應的x的值；
（2）求函數的單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間；
（3）它的圖象可以由正弦曲線經過怎樣的圖形變換所得出？

Answer 1

分析：（1）由3x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，和 3x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈z，求得x的值，即為所求． 
（2）由 2kπ-

π

2

≤3x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即得函數的增區(qū)間；由2kπ+

π

2

≤3x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
k∈z，求得x的范圍，即得函數的減區(qū)間．
（3）先將y=sinx上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="vgpcvgr" class="MathJye">

1

3

，再將所得圖象向左平移

π

18

個單位，然后將所得圖象上每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="ltb7u1z" class="MathJye">

1

2

，再把所得圖象向上平移一個單位，即可得到y(tǒng)=

1

2

sin（3x+

π

6

）+1的圖象．

解答：解：（1）由3x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，可得x=

2

3

kπ+

π

9

（k∈Z）； 此時，y取最大值．
由3x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈z，可得x=

2

3

kπ-

2π

9

，（k∈Z），此時，y取最小值．
綜上，可得y取最大值時，相應的x的值為x=

2

3

kπ+

π

9

（k∈Z）；y取最小值時，相應的x的值為x=

2

3

kπ-

2π

9

，k∈Z．
（2）由 2kπ-

π

2

≤3x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得

2

3

kπ-

2π

9

≤x≤

2

3

kπ+

π

9

，
故函數單調遞增區(qū)間為[

2

3

kπ-

2π

9

，

2

3

kπ+

π

9

]（k∈Z）．
由 2kπ+

π

2

≤3x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得

2

3

kπ+

π

9

≤x≤

2

3

kπ+

4π

9

，
故函數單調遞減區(qū)間為[

2

3

kπ+

π

9

，

2

3

kπ+

4π

9

]（k∈Z）；
（3）先將正弦曲線上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="vyzpgyh" class="MathJye">

1

3

（縱坐標不變），得到y(tǒng)=

1

2

 sin3x 的圖象．
再將所得圖象向左平移

π

18

個單位，然后將所得圖象上每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="fqnnk9p" class="MathJye">

1

2

（橫坐標不變），
得到y(tǒng)=

1

2

sin（3x+

π

6

）的圖象．
最后將所得圖象向上平移一個單位，即可得到y(tǒng)=

1

2

sin（3x+

π

6

）+1的圖象．

點評：本題主要考查y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，求三角函數的單調區(qū)間和最值的方法，屬于中檔題．