已知函數(shù)y=
1
2
sin(2x+
π
6
)
,x∈R.
(1)寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間、對稱軸方程和對稱中心;
(2)當x∈[0,
π
2
]
時,求y的取值范圍;
(3)說明由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到函數(shù)y=
1
2
sin(2x+
π
6
)
的圖象.
分析:(1)利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,正弦函數(shù)的對稱軸方程與對稱中心坐標求出函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心;
(2)當x∈[0,
π
2
]
時,求出2x+
π
6
的范圍,然后求y的取值范圍;
(3)通過左加右減以及伸縮變換的原則,由y=sinx的圖象經(jīng)過向左平移
π
6
個單位,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="mdtpip5" class="MathJye">
1
2
,然后將所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="lab6lrr" class="MathJye">
1
2
得到函數(shù)y=
1
2
sin(2x+
π
6
)
的圖象.
解答:解:(1)由
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
2
+2kπ
,k∈Z
得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間[
π
6
+kπ,
3
+kπ]
.k∈Z.
2x+
π
6
=
π
2
+kπ(k∈Z)
,得對稱軸方程x=
π
6
+
2
(k∈Z)

2x+
π
6
=kπ(k∈Z)
,得對稱中心(
2
-
π
12
,0)(k∈Z)

(2)x∈[0,
π
2
]
,得2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
]
sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1]
,y∈[-1.2].
(3)函數(shù)y=
1
2
sin(2x+
π
6
)
的圖象可以由y=sinx的圖象先向左平移
π
6
個單位,
再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="5ahckj7" class="MathJye">
1
2
(縱坐標不變),
最后將所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="ya62ky9" class="MathJye">
1
2
(橫坐標不變)而得到.
點評:本題考查考查正弦函數(shù)的單調(diào)性,對稱中心與對稱軸方程的求法,三角函數(shù)的值與圖象的變換,考查基本知識的掌握情況,考查計算能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
2
sin(3x+
π
6
)+1

(1)求函數(shù)的最小正周期      (2)求y取最小值時相應(yīng)的x值
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間     (4)它的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)怎樣的變換得出?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
2
sin(2x+
π
6
)
,x∈R.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用五點法作出它的簡圖;
(3)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
2
sin(3x+
π
6
)+1.
(1)求y取最大值和最小值時相應(yīng)的x的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)它的圖象可以由正弦曲線經(jīng)過怎樣的圖形變換所得出?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
2
sin(wx+α)(w>0,0<α<π)
為偶函數(shù),其圖象與x軸的交點為x1,x2,若|x1-x2|的最小值為
π
2
,則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間可以是( 。

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