Question

設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜．

(1)當(dāng)x∈(0，x₁)時(shí)，求證：x＜f(x)＜x₁；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝x₀對稱，求證：x₀＜．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)令F(x)＝f(x)－x．因?yàn)閤1，x2是方程f(x)－x＝0的根， 　　所以F(x)＝a(x－x1)(x－x2)． 　　當(dāng)a∈(0，x1)時(shí)，由x1＜x2得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0． 　　∴F(x)＝a(x－x1)(x－x2)＞0，即x＜f(x)． 　　又x1－f(x)＝x1－[x＋F(x)]＝x1－x＋a(x1－x)(x－x2)＝(x1－x)[1＋a(x－x2)]． 　　因?yàn)?＜x＜x1＜x2＜，所以x1－x＞0，1＋a(x－x2)＝1＋ax－ax2＞1－ax2＞0． 　　所以為x1－f(x)＞0，即f(x)＜x1． 　　綜上可得x＜f(x)＜x1． 　　(2)依題意x0＝－． 　　因?yàn)閤1，x2是方程f(x)－x＝0的根，即x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的根，所以x1＋x2＝， 　　x0＝－＝＝． 　　因?yàn)閍x2＜1，所以x0＜＝． 　　即x0＜． 　　分析：本題主要考查二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式、作差法證明不等式以及運(yùn)算推理能力，將二次函數(shù)、一元二次方程以及一元二次不等式等知識有機(jī)地融為一體．