Question

14．已知直線ax-y+3=0與圓x²+y²+2x-8=0相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線2x-y=0上，且|PA|=|PB|，則x₀的取值范圍為（-1，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 由題意可得CP垂直平分AB，且 y₀=2x₀．由$\frac{2{x}_{0}-0}{{x}_{0}+1}$•a=-1，解得x₀=$\frac{-1}{2a+1}$，把直線y=ax+3代入圓x²+y²+2x-8=0化為關(guān)于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范圍，從而可得x₀的取值范圍．

解答 解：圓x²+y²+2x-8=0 即 （x+1）²+y²=9，表示以C（-1，0）為圓心，半徑等于3的圓．
∵|PA|=|PB|，∴CP垂直平分AB，
∵P（x₀，y₀）在直線y=2x上，∴y₀=2x₀．
又CP的斜率等于$\frac{2{x}_{0}-0}{{x}_{0}+1}$，∴$\frac{2{x}_{0}-0}{{x}_{0}+1}$•a=-1，解得x₀=$\frac{-1}{2a+1}$．
把直線y=ax+3代入圓x²+y²+2x-8=0可得，（a²+1）x²+（6a+2）x+1=0．
由△=（6a+2）²-4（a²+1）＞0，求得 a＞0，或a＜-$\frac{3}{4}$．
∴-1＜$\frac{-1}{2a+1}$＜0，或 0＜$\frac{-1}{2a+1}$＜2．
故x₀的取值范圍為 （-1，0）∪（0，2），
故答案為：（-1，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．