Question

2．已知函數(shù)f（x）=1+$\frac{4}{x}$，g（x）=log₂x．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），求函數(shù)h（x）在區(qū)間[2，4]上的值域；
（2）定義min{p，q}表示p，q中較小者，設(shè)函數(shù)H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）．
①求函數(shù)H（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
②若關(guān)于x的方程H（x）=k有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=1+$\frac{4}{x}$在[2，4]上為減函數(shù)，g（x）=log₂x在[2，4]上為增函數(shù)，可得函數(shù)h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，可得函數(shù)的值域；
（2）結(jié)合函數(shù)f（x）=1+$\frac{4}{x}$在（0，+∞）上為減函數(shù)，g（x）=log₂x在（0，+∞）上為增函數(shù)，且當(dāng)x=4時，f（x）=g（x），可得函數(shù)H（x）的解析式，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=1+$\frac{4}{x}$在[2，4]上為減函數(shù)，
g（x）=log₂x在[2，4]上為增函數(shù)，
∴函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）=log₂x-1-$\frac{4}{x}$在[2，4]上為增函數(shù)，
當(dāng)x=2時，函數(shù)取最小值-2，
當(dāng)x=4時，函數(shù)取最大值0，
故函數(shù)h（x）在區(qū)間[2，4]上的值域?yàn)閇-2，0]；
（2）當(dāng)x=4時，f（x）=g（x），
由函數(shù)f（x）=1+$\frac{4}{x}$在（0，+∞）上為減函數(shù)，
g（x）=log₂x在（0，+∞）上為增函數(shù)，
故當(dāng)x∈（0，4）時，g（x）＜f（x），
當(dāng)x∈（4，+∞）時，g（x）＞f（x），
故H（x）=min{f（x），g（x）}=$\left\{\begin{array}{l}{log}_{2}x，0＜x≤4\\ 1+\frac{4}{x}，x＞4\end{array}\right.$．
故①求函數(shù)H（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，4]，
單調(diào)遞減區(qū)間為[4，+∞），
當(dāng)x=4時，取最大值2，無最小值；
②當(dāng)x→+∞時，H（x）→1，
故若關(guān)于x的方程H（x）=k有兩個不同的實(shí)根，
則k∈（1，2）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，分段函數(shù)分段處理，是解答此類問題的關(guān)鍵．