Question

5．設x∈R，且2x²+y²=2，求x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 可先求平方的最大值，結(jié)合條件由x²（1+y²）=$\frac{1}{2}$•2x²（1+y²），運用基本不等式，即可最大值，并求得等號成立的條件．

解答 解：由于要求最大值，則x＞0，
由x²（1+y²）=$\frac{1}{2}$•2x²（1+y²）≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{2{x}^{2}+1+{y}^{2}}{2}$）²
=$\frac{1}{2}$•（$\frac{2+1}{2}$）²=$\frac{9}{8}$，
當且僅當2x²=1+y²，即有x²=$\frac{3}{4}$，y²=$\frac{1}{2}$，取得等號．
則有x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值為$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，注意滿足的條件：一正二定三等，屬于中檔題．