Question

17．  已知函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-與x=1時都取得極值．

  (1)求a、b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

  (2)若對x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：

     （1）f(x)=x³+ax²+bx+c,    f′(x)=3x²+2ax+b,

         由f′(-)=a+b=0,   f′(1)=3+2a+b=0,得

         a=-，b=-2，

f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

ｘ	（-∞，-）	-	（-，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，-）與（1，+∞）；

遞減區(qū)間為（-，1）.

（2）f（x）=x³-x²-2x+c  x∈［-1，2］，當x=-時，f（x）=+c為極大值，

而f（2）=2+c，則f（2）=2+c為最大值.

要使f（x）＜c²（x∈［-1，2］）恒成立，只須c²＞f（2）=2+c，

解得c＜-1或c＞2.