Question

【題目】已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，且關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過焦點(diǎn)垂直軸的直線被橢圓截得的弦長為，斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn)，使得，的斜率之和為定值？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）滿足條件的定點(diǎn)是存在的，坐標(biāo)為及

【解析】試題分析：（1）先求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，再代入得，即得離心率，（2）先根據(jù)過焦點(diǎn)垂直軸的直線被橢圓截得的弦長為，求橢圓方程，再用坐標(biāo)表示，的斜率之和，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡，最后根據(jù)等式恒成立條件解出點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：（1）依題知，設(shè)，則且，解得，即

∵在直線上，∴，，∴

（2）由（1）及題設(shè)得：且，∴，，∴橢圓方程為

設(shè)直線方程為，代入橢圓方程消去整理得.依題，即

設(shè)，，則，

如果存在使得為定值，那么的取值將與無關(guān)

，令

則為關(guān)于的恒等式

∴，解得或

綜上可知，滿足條件的定點(diǎn)是存在的，坐標(biāo)為及