Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面，.

（1）證明：；

（2）若是正三角形，，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）要證線線垂直，可以從線面垂直入手，證得AC⊥平面A1B1C，進而得到AC⊥；（2）利用空間坐標系的方法，求得兩個面的法向量，通過向量的夾角的計算得到二面角的大小.

解析:

（Ⅰ）過點B1作A1C的垂線，垂足為O，

由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，

得B1O⊥平面AA1C1C，

又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．

由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．

又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．

又CA1平面A1B1C，得AC⊥CA1．

（Ⅱ）以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，||為單位長，建立空間直角坐標系C-xyz．

由已知可得A(1，0，0)，A1(0，2，0)，B1(0，1，)．

所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，0)，＝＝(0，－1，)．

設n＝(x，y，z)是平面A1AB的法向量，則

即

可取n＝(2，，1)．

設m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，則

即

可取m＝(0，，1)．

則cosn，m＝＝．

又因為二面角A1-AB-C為銳二面角，

所以二面角A1-AB-C的大小為．