如圖，已知正三角形PAD，正方形ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（1）求證：CD⊥AE；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）求直線AC與平面PCD所成的角的大小的正弦．．
（1）取AD的中點O，由正△PAD可得PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD．
又∵CD⊥AD，PO∩AD=O，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE．
（2）由（1）可知：CD⊥AE．
∵E為正三角形PAD的邊PD的中點，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
（3）由（2）可知：AE⊥平面PCD．
∴∠ACE即為直線AC與平面PCD所成的角．
不妨設AD=2．
則AE=
3
，AC=2
2
．
∴sin∠ACE=
AE
AC
=
6
4
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=
2
，BB1=1，則AB1與C1B所成角的大小為（　　）
A．60°B．90°C．105°D．75°

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知a和b是成60°角的兩條異面直線，則過空間一點且與a和b都成60°角的直線共有（　�。�
A．1條B．2條C．3條D．4條

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（理）如圖，單位正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱C1D1和B1C1的中點，試求：
（Ⅰ）AF與平面BEB1所成角的余弦值；
（Ⅱ）點A到面BEB1的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AD1與平面ABCD所成的角的大小為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知正△ABC的頂點A在平面α上，頂點B、C在平面α的同一側，D為BC的中點，若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示的四棱錐，SD垂直于正方形ABCD所在的底面，AB=1，SB=
3
．
（1）求證：BC⊥SC；
（2）求SB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SC所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長與底面邊長都等于1，A1在底面ABC上的射影D為BC的中點，則側棱AA1與底面ABC所成角的大小為______，此三棱柱的體積為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，將一副三角板拼接，使它們有公共邊BC，且使兩個三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．
（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的正切值；
（3）求異面直線AD與BC間的距離．

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