（理）如圖，單位正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱C1D1和B1C1的中點(diǎn)，試求：
（Ⅰ）AF與平面BEB1所成角的余弦值；
（Ⅱ）點(diǎn)A到面BEB1的距離．
（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），E(0，
1
2
，1)，F(
1
2
，1，1)．
∴
BB1
=(0，0，1)，
BE
=(-1，-
1
2
，1)，
AF
=(-
1
2
，1，1)．
設(shè)平面BEB1的法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
BB1
=0
n
•
BE
=0
，即
z=0
-x-
1
2
y+z=0
，取y=2，則x=-1，z=0．
∴
n
=(-1，2，0)，
設(shè)AF與平面BEB1所成的角為θ，θ∈[0，
π
2
]．
則sinθ=|cos＜
n
，
AF
＞|=
|
n
•
AF
|
|
n
||
AF
|
=
1
2
+2
5
×
1
4
+2
=
5
3
，
∴cosθ=
1-sin2θ
=
2
3
．
（2）由（1）可得平面BEB1的法向量
n
=(-1，2，0)，
AB
=(0，1，0)．
∴點(diǎn)A到面BEB1的距離d=
|
n
•
AB
|
|
n
|
=
2
5
=
2
5
5
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，面對角線A1C1與體對角線B1D所成角等于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為面ADD1A1的中心，Q為DCC1D1的中心，則向量
PB
，
QA1
夾角的余弦值為（　�。�
A．
6
6
B．-
6
6
C．
1
6
D．-
1
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB和CD的中點(diǎn)，AD=BC=6，MN=3
2
，則AD和BC所成的角是（　�。�
A．120°B．90°C．60°D．30°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）求證：BN⊥平面C1B1N；
（2）設(shè)θ為直線C1N與平面CNB1所成的角，求sinθ的值；
（3）設(shè)M為AB中點(diǎn)，在BC邊上求一點(diǎn)P，使MP∥平面CNB1，求
BP
PC
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在P是直角梯形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PD與底面成30°角，BE⊥PD于E，求直線BE與平面PAD所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正三角形PAD，正方形ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥AE；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）求直線AC與平面PCD所成的角的大小的正弦．．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB1的長為4，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=a，AA1=
2
a，求AB1與側(cè)面AC1所成的角．

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同步練習(xí)冊答案