Question

【題目】設數(shù)列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn.已知ai，bj∈{0，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），定義n×n數(shù)表，其中xij.

（1）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，寫出X（A，B）；

（2）若A，B是不同的數(shù)列，求證：n×n數(shù)表X（A，B）滿足“xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）”的充分必要條件為“ak+bk=1（k=1，2，…，n）”；

（3）若數(shù)列A與B中的1共有n個，求證：n×n數(shù)表X（A，B）中1的個數(shù)不大于.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題中給的定義寫出X（A，B）；

（2）可先證充分性，充分性由定義易證；再證必要性，注意分類討論:先分a1=0和a1=1兩類，a1=0較易證明，對a1=1再分b1=0和b1=1兩類證明，運用xij分析推理可得;

（3）根據(jù)數(shù)列A與B中的1共有n個，設A中1的個數(shù)為p，則A中0的個數(shù)為n﹣p，B中1的個數(shù)為n﹣p，B中0的個數(shù)為p.表示出n×n數(shù)表X（A，B）中1的個數(shù)，再用不等式證得n×n數(shù)表X（A，B）中1的個數(shù)不大于.

（1）解：.

（2）證明：充分性

若ak+bk=1（k=1，2，…，n），由于xij，xji，

令 A：a1，a2，…，an，由此數(shù)列 B：1﹣a1，1﹣a2，…，1﹣an.

由于 ai=bjai=1﹣ajai+aj=1aj=1﹣aiaj=bi.

從而有 xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）.

必要性

若xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）.

由于A，B是不同的數(shù)列，

設a1=1，b1=0，對任意的正整數(shù)k＞1，

①若x1k=xk1=1，可得 a1=bk=1，ak=b1=0，

所以 ak+bk=1.

②若x1k=xk1=0，可得 bk=0，ak=1，

所以ak+bk=1.

同理可證 ，b1=1時，有ak+bk=1（k=1，2，…，n）成立.

設a1=1，b1=1，對任意的正整數(shù)k＞1，

①若x1k=xk1=1，可得a1=bk=1，ak=b1=1，

所以有ak=bk=1，則A，B是相同的數(shù)列，不符合要求.

②若x1k=xk1=0，可得bk=0，ak=0，

所以有ak=bk，則A，B是相同的數(shù)列，不符合要求.

同理可證 a1=0，b1=0時，A，B是相同的數(shù)列，不符合要求.

綜上，有n×n數(shù)表X（A，B）滿足“xij=xji”的充分必要條件為“ak+bk=1（k=1，2，…，n）”.

（3）證明：由于數(shù)列A，B中的1共有n個，設A中1的個數(shù)為p，

由此，A中0的個數(shù)為n﹣p，B中1的個數(shù)為n﹣p，B中0的個數(shù)為p.

若 ai=1，則數(shù)表X（A，B）的第i行為數(shù)列B：b1，b2，…，bn，

若 ai=0，則數(shù)表X（A，B）的第i行為數(shù)列B：1﹣b1，1﹣b2，…，1﹣bn，

所以 數(shù)表X（A，B）中1的個數(shù)為.

所以 n×n數(shù)表X（A，B）中1的個數(shù)不大于.