Question

【題目】若關(guān)于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.[0，2e]B.（﹣∞，2e]C.[0，2e2]D.（﹣∞，2e2]

Answer 1

【答案】C

【解析】

討論a＜0時(shí)，f（x）＝e2x﹣alnx無(wú)最小值，不符題意；檢驗(yàn)a＝0時(shí)顯然成立；討論a＞0時(shí)，求得f（x）的導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)m、極值和最值，解不等式求得m的范圍，結(jié)合a＝2me2m，可得所求范圍．

解：當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）＝e2x﹣alnx為（0，+∞）的增函數(shù)（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），此時(shí)時(shí)，f（x），所以不符合題意；

當(dāng)a＝0時(shí)，e2x﹣alnxa即為e2x≥0顯然成立；

當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）＝e2x﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為＝2e2x，

由于y＝2e2x在（0，+∞）遞增（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），

設(shè)＝0的根為m，即有a＝2me2m，.

當(dāng)0＜x＜m時(shí)，＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞m時(shí)，＞0，f（x）單調(diào)遞增，

可得x＝m處f（x）取得極小值，且為最小值e2m﹣alnm，

由題意可得e2m﹣alnma，即alnma，

化為m+2mlnm≤1，設(shè)g（m）＝m+2mlnm，＝1+2（1+lnm），

所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

當(dāng)m＝1時(shí)，g（1）＝1，當(dāng)時(shí)，.

可得m+2mlnm≤1的解為0＜m≤1，

設(shè)

所以函數(shù)在單調(diào)遞增.

則a＝2me2m∈（0，2e2]，

綜上可得a∈[0，2e2]，

故選：C．