【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的焦點(diǎn)為,(其中)是上的一點(diǎn),且.

(1)求拋物線的方程;

(2)已知為拋物線上除頂點(diǎn)之外的任意一點(diǎn),在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),設(shè)的斜率分別為,,求證:,,成等比數(shù)列.

【答案】(1);(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義可得,由在拋物線列出方程,聯(lián)立解方程組即可求出;

(2) 設(shè)點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點(diǎn)處切線的斜率,再由點(diǎn)斜式可求出切線的方程,令,可得,從而可設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立方程組消去可得,設(shè),利用根與系數(shù)關(guān)系可得,再將表示并化簡(jiǎn)可得,而,從而可證出,成等比數(shù)列.

(1)由題意,得,解得,或

,所以,所以拋物線的方程為.

(2)由題意,得直線的斜率存在,且不為0.

,得,則,設(shè)點(diǎn),則切線的斜率為,

于是切線的方程為,即,所以.

設(shè)直線的方程為,代入,

消去并整理,得,

由直線交拋物線于兩點(diǎn),得.

設(shè),所以,

,,所以,,

所以,又

所以,故成等比數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)軸的垂線,垂足為,動(dòng)點(diǎn)滿足,記點(diǎn)的軌跡為

1)求曲線的方程;

2)已知點(diǎn),斜率為的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),,且滿足,試求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司有l000名員工,其中男性員工400名,采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行5G手機(jī)購買意向的調(diào)查,將計(jì)劃在今年購買5G手機(jī)的員工稱為追光族,計(jì)劃在明年及明年以后才購買5G手機(jī)的員工稱為觀望者調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這100名員工中屬于追光族的女性員工和男性員工各有20.

(Ⅰ)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為該公司員工屬于追光族性別有關(guān);

屬于追光族

屬于觀望者

合計(jì)

女性員工

男性員工

合計(jì)

100

(Ⅱ)已知被抽取的這l00名員工中有6名是人事部的員工,這6名中有3名屬于追光族現(xiàn)從這6名中隨機(jī)抽取3名,求抽取到的3名中恰有1名屬于追光族的概率.

附:,其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在多邊形中,四邊形為等腰梯形,,四邊形為直角梯形,,.以為折痕把等腰梯形折起,使得平面平面,如圖2所示.

1)證明:平面

2)求直線與平面所成角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)PMN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設(shè)OCMN所成的角為

(1)用分別表示矩形的面積,并確定的取值范圍;

(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為.求當(dāng)為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】企業(yè)為了監(jiān)控某種零件的一條流水生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量,檢驗(yàn)員從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)零件,測(cè)量其尺寸(單位:)并經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析,得到這100個(gè)零件的平均尺寸為10,標(biāo)準(zhǔn)差為0.5.企業(yè)規(guī)定:若,該零件為一等品,企業(yè)獲利20元;若,該零件為二等品,企業(yè)獲利10元;否則,該零件為不合格品,企業(yè)損失40.

1)在某一時(shí)刻內(nèi),依次下線10個(gè)零件,如果其中出現(xiàn)了不合格品,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查若這10個(gè)零件的尺寸分別為9.6,10.5,9.8,10.110.79.4,10.9,9.510,10.9,則從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?

2)將樣本的估計(jì)近似地看作總體的估計(jì)通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),該零件的尺寸服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.

i)從下線的零件中隨機(jī)抽取20件,設(shè)其中為合格品的個(gè)數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果保留整數(shù))

ii)試估計(jì)生產(chǎn)10000個(gè)零件所獲得的利潤(rùn).

附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn), 到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.

(I)求橢圓的方程和拋物線的方程;

(II)設(shè)上兩點(diǎn), 關(guān)于軸對(duì)稱,直線與橢圓相交于點(diǎn)異于點(diǎn)),直線軸相交于點(diǎn).若的面積為,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校開展學(xué)生社會(huì)法治服務(wù)項(xiàng)目,共設(shè)置了文明交通,社區(qū)服務(wù),環(huán)保宣傳和中國(guó)傳統(tǒng)文化宣講四個(gè)項(xiàng)目,現(xiàn)有該校的甲、乙、丙、丁4名學(xué)生,每名學(xué)生必須且只能選擇1項(xiàng).

1)求恰有2個(gè)項(xiàng)目沒有被這4名學(xué)生選擇的概率;

2)求環(huán)保宣傳被這4名學(xué)生選擇的人數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知F為拋物線焦點(diǎn),A為拋物線C上的一動(dòng)點(diǎn),拋物線CA處的切線交y軸于點(diǎn)B,以FA、FB為鄰邊作平行四邊形FAMB.

1)證明:點(diǎn)M在一條定直線上;

2)記點(diǎn)M所在定直線為l,與y軸交于點(diǎn)N,MF與拋物線C交于P,Q兩點(diǎn),求的面積的取值范圍.

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