Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，曲線過點，其參數(shù)方程為 （為參數(shù)，），以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）求已知曲線和曲線交于，兩點，且，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）,（2）或.

【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程與極坐標方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程.

（2）先將曲線的方程轉(zhuǎn)化為標準參數(shù)方程，然后將其代入曲線的直角坐標方程中，因曲線和曲線有兩個交點，所以整理后的關于的二次方程，初步確定的范圍，再根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知，，引入已知，分類討論，求實數(shù)的值.

（1）的參數(shù)方程，消參得普通方程為，

的極坐標方程化為即；

（2）將曲線的參數(shù)方程標準化為（為參數(shù)，）

代入曲線得，由，

得

設，對應的參數(shù)為，，由題意得即或，

當時，，解得 ，

當時，解得，

綜上：或.