Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，求出的解，在定義域內(nèi)的各區(qū)間可得的正負(fù)，即得的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）觀察函數(shù)得，因此有，這樣不等式可化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究出的單調(diào)性，可根據(jù)的取值分類(lèi)討論求只有時(shí)，可得有最小值，由最小值 ，把這個(gè)式子作為的函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)得其最大值為，且，從而可得（一方面，另一方面，因此只有），，再研究在時(shí)， 是否恒成立即可．

試題解析：

（Ⅰ），令得.

當(dāng)且時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）注意到，則， ①.

于是， 即，記， ，

若，則，得在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，有，不合題意；

若，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

得在上的最小值.

記，則，得有最大值，即，

又，故，代入①得.

當(dāng)時(shí)， 即 .

記，則，得在上有最小值，即，符合題意.

綜上，存在，使對(duì)任意恒成立.